每日一题[1678]集合分划

设 $X$ 是一个有限集合，法则 $f$ 使得 $X$ 的每一个偶子集 $E$（偶数个元素组成的子集）都对应一个实数 $f(E)$，满足条件：

① 存在一个偶子集 $D$，使得 $f(D)>1990$；

② 对于 $X$ 的任意两个不相交的偶子集 $A,B$，有 $f(A\cup B)=f(A)+f(B)-1990$．

求证：存在 $X$ 的子集 $P,Q$，满足

① $P\cap Q=\varnothing$，$P\cup Q=X$；

② 对 $P$ 的任何非空偶子集 $S$，有 $f(S)>1990$；

③ 对 $Q$ 的任何偶子集 $T$，有 $f(T)\leqslant 1990$．

解析

在条件 ② 中，取 $A=B=\varnothing$，可得 $f(\varnothing)=1990$．考虑 $X$ 的所有偶子集组成的集合 $O$ 中选择一个偶子集 $P$，使得 $$\forall P_0\in O,f(P_0)\leqslant f(P),$$ 且若 $f(P_0)=f(P)$，则 $P\not\subseteq P_0$．取 $Q=X\setminus P$，则 $P,Q$ 即为满足题意的分划，证明如下．

对 $P$ 的任意非空偶子集 $S$，有 $$f\left(P\right)=f\left(S\right)+f\left(P\setminus S\right)-1990\implies f(S)-1990=f(P)-f(P\setminus S)>0,$$ 所以 $f(S)>1990$．

对 $Q$ 的任意偶子集 $T$，若 $T$ 为空集，则 $f(T)=1990$，符合题意；若 $T$ 不为空集，则 $$f\left(P\cup T\right)=f\left(P\right)+f\left(T\right)-1990\leqslant f\left(P\right)\implies f\left(T\right)\leqslant 1990 ,$$ 所以 $P,Q$ 满足条件，命题得证．