设 $a,b,c>0$，且满足 $abc=1$，求证：$\left(a-1+\dfrac 1b\right)\left(b-1+\dfrac 1c\right)\left(c-1+\dfrac 1a\right)\leqslant 1$．
解析
令 $a=\dfrac yz,b=\dfrac zx,c=\dfrac xy$，其中 $x,y,z>0$，则$$LHS=\dfrac{y-z+x}z\cdot \dfrac{z-x+y}{x}\cdot \dfrac{x-y+z}{y}=\dfrac{8mnp}{(m+n)(n+p)(p+m)},$$其中 $2m=y-z+x,2n=z-x+y,2p=x-y+z$．由于 $m+n,n+p,p+m>0$，于是 $m,n,p$ 中至多有一个非正数，进而有$$\dfrac{8mnp}{(m+n)(n+p)(p+m)}\leqslant 1,$$原不等式得证．