每日一题[1648]代数与几何

已知 $x,y,z$ 是正数，且满足

$$\begin{cases} x^2+y^2+xy=3,\\ y^2+z^2+yz=4,\\ z^2+x^2+zx=7.\end{cases}$$ 求 $x+y+z$．

答案    $\sqrt{13}$．

解析

几何方法

利用余弦定理构造，即求边长分别为 $\sqrt 3,\sqrt 4,\sqrt 7$ 的三角形的费马点到三个顶点的距离之和．

如图作正三角形，可得

$$x+y+z=\sqrt{3+4-2\cdot \sqrt 3\cdot \sqrt 4\cdot \cos\dfrac{5\pi}6}=\sqrt {13}.$$

代数方法

将原式两两相减并整理可得

$$\begin{cases} (x+y+z)(z-x)=1,\\ (x+y+z)(x-y)=3,\\ (x+y+z)(z-y)=4,\end{cases}\implies \begin{cases} x=\dfrac 3t+\dfrac2{3t},\\ y=\dfrac t3-\dfrac7{3t},\\ z=\dfrac t3+\dfrac 5{3t},\end{cases}$$ 其中 $t=x+y+z$（$t>\sqrt 7$），将其代入 $x^2+y^2+xy=3$ 整理可得 $$t^4-14t^2+13=0\implies t=\sqrt{13}.$$