每日一题[1646]暗藏陷阱

已知数列 $\{a_n\}$ 首项为 $2$，且满足 $6S_n=3a_{n+1}+4^n-1$，其中 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_n$ 的最大值为_______．

答案    $10$．

解析    当 $n=1$ 时，可得

$$6a_1=3a_2+3\implies a_2=3,$$ 当 $n\geqslant 2$ 时，作差分，可得 $$6a_n=3a_{n+1}-3a_n+4^n-4^{n-1}\implies a_{n+1}=3a_n-4^{n-1},$$ 因此 $$a_{n+1}+4^n=3\left(a_n+4^{n-1}\right)\implies a_{n+1}=7\cdot 3^{n-1}-4^n,$$ 因此 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline n&1&2&3&4&\geqslant 5\\ \hline a_n&2&3&5&-1&<0\\ \hline\end{array}$$ 从而 $S_n$ 的最大值为 $S_3=10$．