每日一题[1644]根式的整理

设 $x,y$ 是非负实数，$a=\sqrt x+\sqrt y$，$b=\sqrt {x+2}+\sqrt {y+2}$．若 $a,b$ 是两个不相邻的整数，求 $a,b$ 的值．

解析

根据题意，有 $$\begin{split} b-a&=\left(\sqrt{x+2}-\sqrt x\right)+\left(\sqrt{y+2}-\sqrt y\right)\\ &=\dfrac{2}{\sqrt {x+2}+\sqrt x}+\dfrac{2}{\sqrt{y+2}+\sqrt y}\\ &\leqslant \dfrac{2}{\sqrt 2}+\dfrac{2}{\sqrt 2}\\ &<3,\end{split}$$ 又 $b-a$ 是两个不相邻的整数，于是 $b-a=2$．设 $a=n-1$，$b=n+1$，则 $$\begin{cases} \sqrt x +\sqrt y=n-1,\\ \sqrt {x+2}+\sqrt{y+2}=n+1,\end{cases}\iff \begin{cases} 2\sqrt x=n-1+\dfrac {x-y}{n-1},\\ 2\sqrt{x+2}=n+1+\dfrac {x-y}{n+1},\end{cases}$$ 进而 $$2(n-1)\sqrt x-(n-1)^2=2(n+1)\sqrt{x+2}-(n+1)^2=x-y,$$ 化简得 $$(n-1)\sqrt x+2n=(n+1)\sqrt{x+2}\iff n=\dfrac{\sqrt{x+2}+\sqrt x}{\sqrt x +2-\sqrt{x+2}},$$ 即 $$\dfrac 2n=1-\left(\sqrt{x+2}-\sqrt x -1\right)^2,$$ 同理，也有 $$\dfrac 2n=1-\left(\sqrt{y+2}-\sqrt y -1\right)^2.$$ 考虑到 $\sqrt {x+2}-\sqrt x$ 在 $x\in[0,+\infty)$ 上单调递减，取值范围是 $\left(0,\sqrt 2\right]$，于是问题转化为直线 $y=\dfrac 2n$ 与 $y=1-(x-1)^2$，其中 $x\in\left(0,\sqrt 2\right]$ 的公共点问题．若 $x=y$，则 $n=2$（此时 $x=y=\dfrac 14$）；若 $x\ne y$，则 $$1-\left(\sqrt 2-1\right)^2<\dfrac 2n<1,$$ 无解． 综上所述，$a=1$，$b=3$．