每日一题[1623]先猜后证

设 $x,y \in [0,1]$，求 $f(x,y)=\sqrt {\dfrac {1+xy}{1+x^2}}+\sqrt {\dfrac {1-xy}{1+y^2}}$ 的取值范围．

答案    $[1,2]$．

解析    考虑到当 $(x,y)=(0,0)$ 时，$f(x,y)=2$；当 $(x,y)=(1,1)$ 时，$f(x,y)=1$，下面尝试证明 $f(x,y)$ 的取值范围是 $[0,2]$．

情形一     $x\geqslant y$．此时 $\sqrt{\dfrac{1+xy}{1+x^2}},\sqrt{\dfrac{1-xy}{1+y^2}}\in [0,1]$，于是 $f(x,y)\leqslant 2$，且

$$f(x,y)\geqslant \dfrac{1+xy}{1+x^2}+\dfrac{1-xy}{1+y^2}\geqslant \dfrac{1+xy}{1+x^2}+\dfrac{1-xy}{1+x^2}=\dfrac{2}{1+x^2}\geqslant 1.$$

情形二     $x<y$．此时

$$f(x,y)\geqslant \sqrt{\dfrac{1+xy}{1+x^2}}>1,$$ 且 $$f(x,y)\leqslant \sqrt {2\left(\dfrac{1+xy}{1+x^2}+\dfrac{1-xy}{1+y^2}\right)}\leqslant \sqrt{2\cdot \dfrac{2}{1+x^2}}\leqslant 2.$$ ​综上所述，$f(x,y)$的取值范围是$[1,2]$．