每日一题[1622]一带二

设 $0<x<\dfrac {\pi}{2}$，证明：$0<\dfrac {x-\sin x}{\tan x -\sin x}<\dfrac 13$．

解析    题意即证明 $$\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),\sin x <x<\dfrac{\tan x+2\sin x}3,$$ 左侧为熟知的不等式，设 $f(x)=\tan x+2\sin x-3x$，则其导函数 $$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}+2\cos x-3>0,$$ 因此 $f(x)$ 单调递增，从而当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 时，有 $f(x)>f(0)>0$，命题得证．