每日一题[1620]分离与均值

设 $\theta \in [0,2\pi]$ ，若对任意 $x \in [0,1]$ 恒有

2 x^{2} \sin θ - 4 x (1 - x) \cos θ + 3 (1 - x)^{2} > 0,

$2x^2\sin \theta -4x(1-x)\cos \theta +3(1-x)^2>0,$ 则

θ

$\theta$ 的取值范围是______．

答案 $\left(\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}2\right)$ ．

解析设不等式左侧函数为 $f(x)$ ，则

{\begin{cases} f (0) > 0, \\ f (1) > 0, \end{cases} ⟹ \sin θ > 0,

$\begin{cases} f(0)>0,\\ f(1)>0,\end{cases}\implies \sin\theta>0,$ 于是

θ \in (0, π)

$\theta\in (0,\pi)$ ．此时考虑

\forall x \in (0, 1), \frac{2 x}{1 - x} \sin θ + \frac{3 (1 - x)}{x} > 4 \cos θ,

$\forall x\in (0,1),\dfrac{2x}{1-x}\sin\theta+\dfrac{3(1-x)}{x}>4\cos\theta,$ 也即

2 \sqrt{6 \sin θ} > 4 \cos θ ⟺ 2 \sin^{2} θ + 3 \sin θ - 1 > 0 ⟺ \sin θ > \frac{1}{2} .

$2\sqrt{6\sin\theta}>4\cos\theta\iff 2\sin^2\theta+3\sin\theta-1>0\iff \sin\theta>\dfrac 12.$ 因此

t h e t a

$theta$ 的取值范围是

(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})

$\left(\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}2\right)$ ．

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