每日一题[1620]分离与均值

设 $\theta \in [0,2\pi]$，若对任意 $x \in [0,1]$ 恒有 $$2x^2\sin \theta -4x(1-x)\cos \theta +3(1-x)^2>0,$$ 则 $\theta$ 的取值范围是______．

答案    $\left(\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}2\right)$．

解析    设不等式左侧函数为 $f(x)$，则 $$\begin{cases} f(0)>0,\\ f(1)>0,\end{cases}\implies \sin\theta>0,$$ 于是 $\theta\in (0,\pi)$．此时考虑 $$\forall x\in (0,1),\dfrac{2x}{1-x}\sin\theta+\dfrac{3(1-x)}{x}>4\cos\theta,$$ 也即 $$2\sqrt{6\sin\theta}>4\cos\theta\iff 2\sin^2\theta+3\sin\theta-1>0\iff \sin\theta>\dfrac 12.$$ 因此$theta$的取值范围是$\left(\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}2\right)$．