每日一题[1616]构造函数

已知 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$，且 $a^{\pi}+b^{\pi}=c^{\pi}$（$\pi$ 是圆周率），则 $\triangle ABC$ 为（       ）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．以上皆有可能

答案    A．

解析    $\triangle ABC$ 中 $c$ 最大，设 $f(x)=\left(\dfrac ac\right)^x+\left(\dfrac bc\right)^x$，则 $f(x)$ 是单调递减函数，于是

$$\pi>2\implies f(2)>f(\pi)=1\implies a^2+b^2>c^2,$$ 因此 $\triangle ABC$ 是锐角三角形．