每日一题[1612]汤圆

如图所示，三个半径为 $r$ 的汤圆（球形）装入半径为 $6 \mathrm {cm}$ 的半球面碗中，三个汤圆的顶端恰与碗口共面，则汤圆半径 $r=$ _______ $\mathrm {cm}$．

答案    $\dfrac{\sqrt{189}-9}2$．

解析    三个半径为 $r$ 的小球的球心连线可以构成边长为 $2r$ 的正三角形，其球心到该三角形中心的距离为 $\dfrac{2\sqrt 3r}3$，根据题意，有

$$r^2+\left(\dfrac{2\sqrt 3r}r\right)^2=(6-r)^2\implies r=\dfrac{\sqrt{189}-9}2.$$