每日一题[1608]消元

已知实数 $x_1,x_2,x_3$ 满足 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2+x_2x_3=2$，则 $|x_2|$ 的最大值是_______．

答案    $2$．

解析    由于

$$\begin{cases} x_1^2+x_1x_2\geqslant -\dfrac{x_2^2}4,\\ x_3^2+x_2x_3\geqslant -\dfrac{x_2^2}4,\end{cases}$$ 于是 $$2=(x_1^2+x_1x_2)+(x_3^2+x_2x_3)+x_2^2\geqslant \dfrac{x_2^2}2,$$ 从而 $|x_2|\leqslant 2$，当 $x_1=x_3=-\dfrac {x_2}2=-1$ 时取得等号，因此所求最大值为 $2$．