每日一题[1601]一数三制

已知由 $3$ 的幂或者若干个不同的 $3$ 的幂之和组成的递增数列： $1,3,4,9,10,12,13,\cdots$ ，则此数列的第 $100$ 项是_______．

答案 $981$ ．

解析用三进制书写，数列为

1_{(3)}, 10_{(3)}, 11_{(3)}, 100_{(3)}, 101_{(3)}, 110_{(3)}, 111_{(3)}, \dots,

$1_{(3)},10_{(3)},11_{(3)},100_{(3)},101_{(3)},110_{(3)},111_{(3)},\cdots,$ 其中位数为

n

$n$ 的数有

2^{n - 1}

$2^{n-1}$ 个，而

100_{(10)} = 1100100_{(2)},

$100_{(10)}=1100100_{(2)},$ 于是所求第

100

$100$ 项为

1100100_{(3)} = 729 + 243 + 9 = 981.

$1100100_{(3)}=729+243+9=981.$

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