每日一题[1590]图形分割

在一个边长为 $a$ 的正方形草坪的四个角上都安有喷水装置，喷水装置可以 $90^{\circ}$ 旋转喷水，每个喷水装置都可以从其所在角的一边旋转喷水至该角的另一边，其有效射程均为 $a$，则能同时被四个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为_______．

答案    $\dfrac{\pi}3+1-\sqrt 3$

解析    如图，$ABCD$ 是边长为 $a$ 的正方形，$E$ 为弧 $AC$ 与弧 $BD$ 的公共点，连接 $AE,EB$．

根据题意，$\angle EAB=\dfrac{\pi}6$，于是弓形 $EB$ 的面积为

$$\dfrac 12\cdot \left(\dfrac{\pi}6-\sin\dfrac{\pi}6\right)\cdot a^2=\dfrac{\pi-3}{12}a^2,$$ 而 $$BE^2=\left(2\sin\dfrac{\pi}{12}a\right)^2=\left(2-\sqrt 3\right)a^2,$$ 能同时被四个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为 $$\left(2-\sqrt 3\right)+4\cdot \dfrac{\pi-3}{12}=\dfrac{\pi}3+1-\sqrt 3.$$

备注    草坪上恰好能被两个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为$\dfrac{2\pi}3+\sqrt 3-3$．