每日一题[1598]以终为始

若关于 $x$ 的方程 $x^2+ax+b-3=0$（$a,b \in \mathbb R$）在区间 $[1,2]$ 上有实根，则 $a^2+(b-4)^2$ 的最小值为_______．

答案    $2$．

解析    设题中实根为 $t$，则

$$\begin{split} a^2+(b-4)^2&= a^2+(-t^2-at-1)^2\\ &=(t^2+1)((a+t)^2+1)\\ &\geqslant t^2+1\\ &\geqslant 2 ,\end{split}$$ 等号当 $a=-t$ 且 $t=1$ 时，即 $(a,b)=(-1,3)$ 时取得．因此所求最小值为 $2$．