每日一题[1569]换底公式

在 $\triangle ABC$ 中，$AB=5$，$AC=4$，且 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=12$，设 $P$ 为平面 $ABC$ 上的一点，则 $\overrightarrow{PA}\cdot\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)$ 的最小值是_______．

答案       $-\dfrac{65}8$．

解析       根据换底公式，有

$$\begin{split}\overrightarrow{PA}\cdot\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)&=-\overrightarrow{AP}\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AP}\right)\\ &=2|AP|^2-\overrightarrow{AP}\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\\ &\geqslant 2|AP|^2-|AP|\cdot \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|\\ &\geqslant -\dfrac{\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|^2}{8}\\ &=-\dfrac{65}8,\end{split}$$ 等号当 $|AP|=\dfrac{\sqrt{65}}4$ 时取得，因此所求最小值为 $-\dfrac{65}8$．