每日一题[1568]垂直关系

在圆锥中，$M$ 是顶点，$O$ 是底面中心，$A$ 在底面圆周上，$B$ 在底面圆内，$|MA|=6$，$AB\perp OB$，$OH\perp MB$ 于 $H$，$C$ 为 $MA$ 的中点，当四面体 $O-CHM$ 的体积最大时，$|BH|=$ （       ）

A．$\dfrac{\sqrt{66}}{11}$

B．$\dfrac{\sqrt{66}}{22}$

C．$\sqrt 6$

D．$\dfrac{\sqrt 6}2$

答案      D．

解析      如图．

此时 $$\begin{split} O-CHM&=\dfrac{MH}{MB}\cdot \dfrac{MC}{MA}\cdot O-MAB\\ &=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\cdot \dfrac 12\cdot \dfrac 16xyz\\ &=\dfrac{1}{12}\cdot \dfrac{x^3yz}{x^2+y^2}\\ &=\dfrac{1}{12}\cdot \sqrt{\dfrac{x^6\left(36-x^2-z^2 \right)z^2}{\left(36-z^2\right)^2}}\\ &=\dfrac{1}{12}\cdot \sqrt{\dfrac{x^2\cdot x^2\cdot x^2\cdot \left(108-3x^2-3z^2\right)\cdot z^2}{3\left(36-z^2\right)^2}}\\ &\leqslant \dfrac{1}{12}\cdot \sqrt{\dfrac{\left(\dfrac{108-3z^2}{4}\right)^4\cdot z^2}{3\left(36-z^2\right)^2}}\\ &=\dfrac{1}{12}\cdot \sqrt{\dfrac{27}{512}\cdot \left(36-z^2\right)\cdot \left(36-z^2\right)\cdot 2z^2}\\ &\leqslant \dfrac{1}{12}\cdot \sqrt{\dfrac{27}{512}\cdot 24^3}\\ &=\dfrac 94,\end{split}$$ 等号当 $$\begin{cases} x^2=108-3x^2-3z^2,\\ 36-z^2=2z^2,\\ x^2+y^2+z^2=36,\end{cases}\iff \begin{cases} x^2=18,\\ y^2=6,\\ z^2=12,\end{cases}$$ 时取得．此时容易算得 $BH=\dfrac{\sqrt 6}2$．