每日一题[1566]构造函数

定义在区间 $\left(0,+\infty\right)$ 的函数 $f(x)$ 使不等式 $2f(x)<xf'(x)<3f(x)$ 恒成立，其中 $f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，则（        ）

A．$8<\dfrac {f(2)}{f(1)}<16$

B．$4<\dfrac {f(2)}{f(1)}<8$

C．$3<\dfrac {f(2)}{f(1)}<4$

D．$2<\dfrac {f(2)}{f(1)}<3$

答案      B．

解析      根据题意，有 $f(x)>0$，则

$$\dfrac 2x<\dfrac{f'(x)}{f(x)}<\dfrac 3x,$$ 即 $$\dfrac 2x<\left(\ln f(x)\right)'<\dfrac 3x,$$ 于是 $f_1(x)=\ln f(x)-2\ln x$ 单调递增，且 $f_2(x)=\ln f(x)-3\ln x$ 单调递减，从而 $$\begin{cases} \ln f(2)- 2\ln 2>\ln f(1),\\ \ln f(2)-3\ln 2<\ln f(1),\end{cases}$$ 从而 $$2\ln 2<\ln f(2)-\ln f(1)<3\ln 2\iff 4<\dfrac{f(2)}{f(1)}<8.$$