每日一题[1565]一网打尽

已知函数 $f(x)={\rm ln}x$，$g(x)=\dfrac12x^2-bx$（$b>1$ ）．对于区间 $[1,2]$ 内的任意两个不相等的实数 $x_1,x_2$ 都有 $|f(x_1)-f(x_2)|>|g(x_1)-g(x_2)|$ 成立，求 $b$ 的取值范围．

答案      $\left[\dfrac{3}{2},2\right]$．

解析      不妨设 $x_1>x_2$，则根据题意，有 $$\forall 1\leqslant x_2<x_1\leqslant 2,|g(x_1)-g(x_2)|<\ln x_1-\ln x_2,$$ 即 $$\begin{cases} \forall 1\leqslant x_2<x_1\leqslant 2,g(x_1)-g(x_2)<\ln x_1-\ln x_2,\\ \forall 1\leqslant x_2<x_1\leqslant 2,g(x_2)-g(x_1)<\ln x_1-\ln x_2,\end{cases}$$ 也即 $$\begin{cases} \forall 1\leqslant x_2<x_1\leqslant 2,g(x_1)-\ln x_1<g(x_2)-\ln x_2,\\ \forall 1\leqslant x_2<x_1\leqslant 2,g(x_2)+\ln x_2<g(x_1)+\ln x_1,\end{cases}$$ 因此函数 $y=g(x)-\ln x$ 在 $[1,2]$ 内单调递减，且函数 $y=g(x)+\ln x$ 在 $[1,2]$ 内单调递增，也即 $$\begin{cases} \forall x\in [1,2],x-b-\dfrac 1x\leqslant 0,\\ \forall x\in [1,2],x-b+\dfrac 1x\geqslant 0,\end{cases}\iff \dfrac 32\leqslant b\leqslant 2,$$ 因此 $b$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 32,2\right]$．