每日一题[1557]截面分析

如图,球 O 的内接八面体 PABCDQ 中,顶点 P,Q 分别在平面 ABCD 两侧,且四棱锥 PABCDQABCD 都是正四棱锥.设二面角 PABQ 的平面角的大小为 θ,则 tanθ 的取值范围是_______.

答案       (,22]

解析       如图,设 PQ 与平面 ABCD 交于点 HAB 的中点为 M,连接 MH,MO

AOP=x,则 x(0,π),于是 |OH|=cosx|MH|=sinx2,进而tanθ=tan(PMH+QMH)=2(1cosx)sinx+2(1cosx)sinx12(1cosx)sinx2(1cosx)sinx=22sinx,因此所求取值范围是 (,22]

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