如图,球 O 的内接八面体 PABCDQ 中,顶点 P,Q 分别在平面 ABCD 两侧,且四棱锥 P−ABCD 与 Q−ABCD 都是正四棱锥.设二面角 P−AB−Q 的平面角的大小为 θ,则 tanθ 的取值范围是_______.
答案 (−∞,−2√2].
解析 如图,设 PQ 与平面 ABCD 交于点 H,AB 的中点为 M,连接 MH,MO.
设 ∠AOP=x,则 x∈(0,π),于是 |OH|=cosx,|MH|=sinx√2,进而tanθ=tan(∠PMH+∠QMH)=√2(1−cosx)sinx+√2(1−cosx)sinx1−√2(1−cosx)sinx⋅√2(1−cosx)sinx=−2√2sinx,因此所求取值范围是 (−∞,−2√2].