每日一题[126]运动中的不变量

直线$m$与平面$\alpha$垂直，垂足是$O$，正四面体$ABCD$的棱长为$4$，点$C$在平面$\alpha$上运动， 点$B$在直线$m$上运动，则点$O$到直线$AD$的距离的取值范围是（        ）

A．$\left[\dfrac{4\sqrt 2-5}{2},\dfrac{4\sqrt 2+5}{2}\right]$

B．$\left[2\sqrt 2-2,2\sqrt 2+2\right]$

C．$\left[\dfrac{3-2\sqrt 2}{2},\dfrac{3+2\sqrt 2}{2}\right]$

D．$\left[3\sqrt 2-2,3\sqrt 2+2\right]$

正确答案是B．

问题的关键是正确的把握运动中的不变量．事实上，看起来非常复杂的$B$、$C$两个点的运动，在其运动过程中，$OB$与$OC$的垂直关系是始终不变的．因此，我们可以将正四面体$ABCD$固定下来，而点$O$在以$BC$为直径的球面上运动，如图．

接下来可以得到所求的点$O$到直线$AD$的距离的取值范围就是球心到直线$AD$的距离减去球的半径与球心到直线$AD$的距离加上球的半径之间，不难求出该取值范围是$\left[2\sqrt 2-2,2\sqrt 2+2\right]$．