每日一题[1547]值域宽度

设 $a\in\mathbb R$，且对任意实数 $b$ 均有 $\max\limits_{x\in[0,1]}| {x^2}+ax+b|\geqslant1$，求 $a$ 的取值范围．

答案       $\left(-\infty,-3\right]\cup \left[1,+\infty\right)$．

解析        设 $f(x)=x^2+ax$，则题意函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的值域宽度不小于 $2$．注意到 $f(0)=0$，$f(1)=1+a$，$f\left(-\dfrac a2\right)=-\dfrac{a^2}4$．

情形一       $-\dfrac a2\in [0,1]$ 即 $a\in [-2,0]$．此时 $$\left|f(0)-f\left(-\dfrac a2\right)\right|\geqslant 2\lor \left|f(1)-f\left(-\dfrac a2\right)\right|\geqslant 2,$$ 无解．

情形二       $-\dfrac a2\notin [0,1]$ 即 $a\notin [-2,0]$．此时 $$|f(0)-f(1)|\geqslant 2,\iff a\leqslant -3\lor a\geqslant 1.$$

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-3\right]\cup \left[1,+\infty\right)$．