每日一题[1546]柯西不等式

设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为非负数．求证：

$$\sqrt{a_1+a_2+\cdots+a_n}+\sqrt{a_2+a_3+\cdots+a_n}+\sqrt{a_3+\cdots+a_n}+\cdots+\sqrt{a_n}\geqslant \sqrt{a_1+4a_2+9a_3+\cdots+n^2 a_n}.$$

解析       当 $n=1$ 时命题成立．利用数学归纳法可以原命题等价于证明对于非负数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n\geqslant 2$），有

$$\sqrt{a_1+a_2+\cdots+a_n}+\sqrt{a_2+4a_3+\cdots+(n-1)^2a_n}\geqslant \sqrt{a_1+4a_2+9a_3+\cdots+n^2a_n},$$ 平方整理，即 $$\sqrt{(a_1+a_2+\cdots+a_n)(a_2+4a_3+\cdots+(n-1)^2a_n)}\geqslant a_2+2a_3+\cdots+(n-1)a_n,$$ 而根据柯西不等式，有 $$(a_2+a_3+\cdots+a_n)(a_2+4a_3+\cdots+(n-1)^2a_3)\geqslant(a_2+2a_3+\cdots+(n-1)a_n)^2,$$ 因此原命题得证．