每日一题[1545]化齐次联立

已知中心在原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，离心率为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$ 的椭圆过点 $\left(\sqrt2,\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$．设不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该椭圆交于 $P,Q$ 两点，且直线 $OP,PQ,OQ$ 的斜率依次成等比数列，求 $\triangle OPQ$ 面积的取值范围．

答案       $(0,1)$．

解析       离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$ 且过点 $\left(\sqrt 2,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 的椭圆方程为

$$\dfrac{x^2}{4}+y^2=\dfrac{\left(\sqrt 2\right)^2}{4}+\left(\dfrac{\sqrt 2}2\right)^2\iff \dfrac{x^2}4+y^2=1.$$ 设 $PQ:y=kx+m$（$m\ne 0,\pm 1$），化齐次联立，可得 $$\dfrac{x^2}4+y^2=\left(\dfrac{y-kx}m\right)^2\iff \left(1-\dfrac 1{m^2}\right)y^2+\dfrac{2k}{m}xy+\left(\dfrac 14-\dfrac{k^2}{m^2}\right)x^2=0,$$ 于是直线 $OP,OQ$ 的斜率之积 $$\dfrac{\dfrac 14-\dfrac{k^2}{m^2}}{1-\dfrac{1}{m^2}}=k^2\iff k^2=\dfrac 14.$$ 利用伸缩变换 $x'=x$，$y'=2y$ 可得 $\triangle OP'Q'$ 的面积的取值范围是 $(0,2)$，因此 $\triangle OPQ$ 的面积的取值范围是 $(0,1)$．