每日一题[1544]三射线定理

如图 $1$，已知矩形 $ABCD$ 满足 $AB=5$，$AC=\sqrt{34}$，沿平行于 $AD$ 的线段 $EF$ 向上翻折（点 $E$ 在线段 $AB$ 上运动，点 $F$ 在线段 $CD$ 上运动），得到如图 $2$ 所示的三棱柱 $ABE-DCF$．

1、若图 $2$ 中 $\triangle ABG$ 是直角三角形，这里 $G$ 是线段 $EF$ 上的点，试求线段 $EG$ 的长度 $x$ 的取值范围．

2、若第 $(1)$ 小题中 $EG$ 的长度为取值范围内的最大整数，且线段 $AB$ 的长度取得最小值，求二面角 $C-EF-D$ 的值．

3、在第 $(1)$ 小题与第 $(2)$ 小题的条件都满足的情况下，求三棱锥 $A-BFG$ 的体积．

解析

1、根据三射线定理，有

$$\cos\angle AGB=\cos\angle AGE\cdot \cos\angle BGE+\sin\angle AGE\cdot\sin\angle BEG\cdot\cos\angle AEB,$$ 设 $AE=a$，$EG=x$，$\angle AEB=\varphi$，则 $$x^2=-a(5-a)\cos\varphi,$$ 其中 $a\in (0,5)$，$\varphi \in (0,\pi)$，因此 $x$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac 52\right)$．

2、根据题意，有 $EG=2$，此时根据余弦定理，有

$$AB^2=a^2+(5-a)^2-2a(5-a)\cos\varphi=2a^2-10a+29,$$ 于是 $a=\dfrac 52$，进而二面角 $C-EF-D$ 的余弦值 $$\cos\varphi=-\dfrac{8}{25},$$ 进而所求二面角大小为 $\pi -\arccos\dfrac8{25}$．

3、根据题意，$\triangle AEB$ 中

$$AE=EB=\dfrac 52,\cos\angle AEB=-\dfrac8{25},$$ 于是三棱锥 $F-AEB$ 的体积 $$V=\dfrac 13\cdot 3\cdot\dfrac 12\cdot \left(\dfrac 52\right)^2\cdot \sqrt{1-\left(-\dfrac 8{25}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{561}}8,$$ 而三棱锥 $A-BFG$ 的体积 $$V_{A-BFG}=\dfrac 23V_{A-BFE}=\dfrac 23V_{F-AEB}=\dfrac{\sqrt{561}}{12}.$$