每日一题[1538]配方

按要求作答：

1、求证：对于任意实数 $x,y,z$ 都有 $x^2+2y^2+3z^2\geqslant\sqrt{3}\left(xy+yz+zx\right)$．

2、是否存在实数 $k>\sqrt{3}$，使得对于任意实数 $x,y,z$ 下式恒成立？

$$x^2+2y^2+3z^2\geqslant k\left(xy+yz+zx\right)$$ 试证明你的结论．

解析

1、利用拉格朗日配方法可得

$$\begin{split} m&=\left(x^2+2y^2+3z^2\right)-\sqrt 3(xy+yz+zx)\\ &=x^2-\sqrt 3(y+z)x+2y^2-\sqrt 3yz+3z^2\\ &=\left(x-\dfrac{\sqrt 3}2y-\dfrac{\sqrt 3}2z\right)^2+\dfrac 54y^2-\left(\dfrac 32+\sqrt 3\right)yz+\dfrac94z^2\\ &=\left(x-\dfrac{\sqrt 3}2y-\dfrac{\sqrt 3}2z\right)^2+\left(\dfrac32z-\left(\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}3\right)y\right)^2+\dfrac{2-\sqrt 3}3y^2\\ &>0,\end{split}$$ 因此不等式得证．

2、利用拉格朗日配方法可得

$$\begin{split} m&=\left(x^2+2y^2+3z^2\right)-k(xy+yz+zx)\\ &=x^2-k(y+z)x+2y^2-kyz+3z^2\\ &=\left(x-\dfrac k2y-\dfrac k2\right)^2+\left(2-\dfrac {k^2}4\right)y^2-\left(\dfrac{k^2}2+k\right)yz+\left(3-\dfrac{k^2}4\right)z^2,\end{split}$$ 考虑后半部分（关于 $y,z$ 的二次多项式）对应的判别式 $$\Delta=\left(\dfrac{k^2}2+k\right)^2-4\left(2-\dfrac{k^2}4\right)\left(3-\dfrac{k^2}4\right)=k^3+6k^2-24,$$ 记右侧关于 $k$ 的函数为 $f(k)$，则 $$f\left(\sqrt 3\right)=3\sqrt 3-6<0,$$ 且 $f(k)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，因此必然存在 $k_0>\sqrt 3$，使得 $f(k_0)=0$．此时取 $k\in\left(\sqrt 3,k_0\right)$ 即为符合题意的 $k$．

备注       事实上，$k_0$ 为最好的结果，且

$$k_0=4\cos\dfrac{\pi}9-2.$$