每日一题[1532]联立与韦达定理

已知椭圆 $C$：$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\dfrac {\sqrt 2}2$，直线 $y=2x-1$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，且 $\lvert AB \rvert=\dfrac {8\sqrt5}9$．

1、求椭圆 $C$ 的方程．

2、过点 $M(2,0)$ 的直线 $l$（斜率不为零）与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $E,F$，求 $\triangle OME$ 与 $\triangle OMF$ 的面积之比 $\lambda$ 的取值范围．

解析

1、椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，因此可设其方程为

$$x^2+2y^2=m,$$ 与直线 $y=2x-1$ 联立可得 $$9x^2-8x+(2-m)=0,$$ 根据题意，有 $$|AB|=\sqrt5\cdot \dfrac{\sqrt{64-36(2-m)}}{9}=\dfrac{8\sqrt 5}9,$$ 解得 $m=2$，于是所求椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$．

2、设直线 $l$ 的方程为

$$\begin{cases} x=2+t,\\ y=kt,\end{cases}$$ 其中 $t$ 为参数．联立直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的方程，有 $$(2k^2+1)t^2+4t+2=0,$$ 根据韦达定理，有 $$\lambda+\dfrac1{\lambda}=\dfrac{16}{2(2k^2+1)}-2,$$ 其中 $\lambda\ne 1$，因此 $$-2<\lambda+\dfrac{1}{\lambda}<6,$$ 解得 $\lambda$ 的取值范围是 $\left(0,1\right)\cup\left(1,3+2\sqrt 2\right)$．