每日一题[1531]联立与韦达定理

顺次连接圆 $x^2+y^2=9$ 与双曲线 $xy=3$ 的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面积为_______．

答案       $6\sqrt5$．

解析       设圆与双曲线的四个交点中第一象限的交点为 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$O$ 为坐标原点，$S_{\triangle AOB}$ 为 $\triangle AOB$ 的面积．联立圆与双曲线方程可得

$$x^4-9x^2+9=0,$$ 此凸四边形的面积 $$S=4S_{\triangle AOB}=2|x_1y_2-x_2y_1|=6\left|\dfrac{x_1}{x_2}-\dfrac{x_2}{x_1}\right|=\dfrac{6|x_1^2-x_2^2|}{\sqrt{x_1^2x_2^2}}=\dfrac{6\sqrt{45}}{\sqrt{9}}=6\sqrt 5.$$