每日一题[1529]方程计算

如图，在 $\triangle ABD$ 中，点 $C$ 在 $AD$ 上， $\angle ABC= \dfrac {\pi}2$ ， $\angle DBC= \dfrac {\pi}6$ ， $AB=CD=1$ ，则 $AC=$ _______．

答案 $\sqrt[3]2$ ．

解析设 $AC=x$ ，则 $BC=\sqrt{x^2-1}$ ，且

\sin D = \sin (\frac{π}{3} - A) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{x^{2} - 1}}{2 x},

$\sin D=\sin\left(\dfrac{\pi}3-A\right)=\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \dfrac 1x-\dfrac 12\cdot \dfrac{\sqrt{x^2-1}}x=\dfrac{\sqrt 3-\sqrt{x^2-1}}{2x},$ 进而在

△ B C D

$\triangle BCD$ 中应用正弦定理，有

\frac{B C}{\sin D} = \frac{C D}{\sin ∠ D B C} ⟺ \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{3} - \sqrt{x^{2} - 1}}{2 x}} = \frac{1}{\frac{1}{2}},

$\dfrac{BC}{\sin D}=\dfrac{CD}{\sin\angle DBC}\iff \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{\dfrac{\sqrt 3-\sqrt{x^2-1}}{2x}}=\dfrac{1}{\dfrac 12},$ 整理得

(x + 2) (x^{3} - 2) = 0,

$(x+2)(x^3-2)=0,$ 于是

x = \sqrt[3]{2}

$x=\sqrt[3]2$ ．

此条目发表在每日一题分类目录，贴了解三角形标签。将固定链接加入收藏夹。