每日一题[1527]化齐次联立

已知抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）和动直线 $l:y=kx+b$（$k,b$ 是参变量，且 $k\neq 0$，$b\neq 0$）相交于 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 两点，平面直角坐标系的原点为 $O$，记直线 $OA,OB$ 的斜率分别为 $k_{OA},k_{OB}$，若 $k_{OA}\cdot k_{OB}=\sqrt3$ 恒成立，则当 $k$ 变化时直线 $l$ 恒经过的定点为（       ）

A．$\left(-\sqrt3p,0\right)$

B．$\left(-2\sqrt3p,0\right)$

C．$\left(-\dfrac{\sqrt3p} 3,0\right)$

D．$\left(-\dfrac{2\sqrt3p} 3,0\right)$

答案       D．

解析       化齐次联立，有

$$y^2=2px\cdot \dfrac{y-kx}b\iff b\cdot\left(\dfrac yx\right)^2-{2p}\cdot\dfrac yx+2pk=0 ,$$ 于是 $$k_{OA}\cdot k_{OB}=\dfrac{2pk}b=\sqrt 3,$$ 从而 $$l:y=k\left(x+\dfrac{2p}{\sqrt 3}\right),$$ 因此直线 $l$ 恒过定点 $\left(-\dfrac{2\sqrt 3p}3,0\right)$．