每日一题[1526]到角与数量积

已知 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 为平面上的单位向量，$\left|\overrightarrow c\right|=\sqrt{26}$，且 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c=1$，则 $\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|+\left|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c\right|$ 的最大值为_______．

答案       $\sqrt{29}$．

解析       如图，$A,B$ 是单位圆 $O$ 上的点，$OC=\sqrt{26}$，$OA\perp AC$，$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow c$．

设 $OC$ 到 $OB$ 的角为 $\theta$，则 $OA$ 到 $OB$ 的角为 $\theta-\arctan 5$，进而

$$\begin{split} \left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|+\left|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c\right|&=|\cos(\theta-\arctan 5)|+\sqrt{26}\cdot |\cos\theta|\\ &=\dfrac{\left|\cos\theta+5\sin\theta\right|+26|\cos\theta|}{\sqrt{26}}\\ &\leqslant \dfrac{27|\cos\theta|+5|\sin\theta|}{\sqrt{26}}\\ &\leqslant \dfrac{\sqrt{27^2+5^2}}{\sqrt{26}}\\ &=\sqrt{29},\end{split}$$ 等号当 $\theta=\arctan\dfrac{5}{27}$ 时取得，因此所求最大值为 $\sqrt{29}$．