已知 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 为平面上的单位向量，$\left|\overrightarrow c\right|=\sqrt{26}$，且 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c=1$，则 $\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|+\left|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c\right|$ 的最大值为_______．
答案 $\sqrt{29}$．
解析 如图，$A,B$ 是单位圆 $O$ 上的点，$OC=\sqrt{26}$，$OA\perp AC$，$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow c $．
设 $ OC $ 到 $ OB $ 的角为 $ \theta $，则 $ OA $ 到 $ OB $ 的角为 $ \theta-\arctan 5$，进而\[\begin{split} \left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|+\left|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c\right|&=|\cos(\theta-\arctan 5)|+\sqrt{26}\cdot |\cos\theta|\\ &=\dfrac{\left|\cos\theta+5\sin\theta\right|+26|\cos\theta|}{\sqrt{26}}\\ &\leqslant \dfrac{27|\cos\theta|+5|\sin\theta|}{\sqrt{26}}\\ &\leqslant \dfrac{\sqrt{27^2+5^2}}{\sqrt{26}}\\ &=\sqrt{29},\end{split}\]等号当 $\theta=\arctan\dfrac{5}{27}$ 时取得，因此所求最大值为 $\sqrt{29}$．