每日一题[1525]调和线束

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$．过点 $D(1,0)$ 且不经过点 $M(1,1)$ 的直线与椭圆交于 $P,Q$ 两点，直线 $MQ$ 与直线 $x=4$ 交于 $E$ 点，直线 $PE$ 与直线 $MD$ 交于 $N$ 点．求证：$\triangle EMN$ 的面积为定值．

解法一       若 $\triangle EMN$ 的面积为定值，则点 $N$ 为定点，根据对称性可得 $N$ 只可能为 $(1,-1)$，考虑用同一法证明．设 $N_1(1,-1)$，直线 $PQ$ 的方程为 $PQ:x=my+1$，$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，直线 $MQ$ 与直线 $N_1P$ 交于点 $E_1(x_3,y_3)$．联立直线 $PQ$ 与椭圆方程，得

$$\left(m^2+4\right)y^2+2my-3=0.$$ 因为 $$\begin{split} MQ&:y-1=\dfrac{y_2-1}{x_2-1}(x-1),\\ N_1P&:y+1=\dfrac{y_1+1}{x_1-1}(x-1), \end{split}$$ 所以 $$\dfrac{y_2-1}{x_2-1}(x_3-1)+1=y_3=\dfrac{y_1+1}{x_1-1}(x_3-1)-1,$$ 故 $$\begin{split} 2 &=\left(\dfrac{y_1+1}{x_1-1}-\dfrac{y_2-1}{x_2-1}\right)(x_3-1)\\ &=\left(\dfrac{y_1+1}{my_1}-\dfrac{y_2-1}{my_2}\right)(x_3-1)\\ &=\dfrac{y_1+y_2}{my_1y_2}(x_3-1)\\ &=\dfrac{2}{3}(x_3-1), \end{split}$$ 从而 $x_3=4$．由此可知，点 $E_1,E$ 重合，点 $N_1,N$ 重合，进而有 $\triangle EMN$ 的面积为定值 $3$．

解法二       延长 $PQ$ 交直线 $x=4$ 于点 $R$．设射影直线 $MD$ 上的无穷远点为 $G_{\infty}$． 由于 $D$ 点关于椭圆 $C$ 的极线为直线 $x=4$，因此

$$(Q,P,D,R)=(EQ,EP,ED,ER)=(MNDG_{\infty})=-1,$$ 从而 $D$ 点平分线段 $MN$，所以 $|MN|$ 为定值 $2$，进而 $\triangle EMN$ 的面积为定值 $3$．