已知椭圆 C:x24+y2=1.过点 D(1,0) 且不经过点 M(1,1) 的直线与椭圆交于 P,Q 两点,直线 MQ 与直线 x=4 交于 E 点,直线 PE 与直线 MD 交于 N 点.求证:△EMN 的面积为定值.
解法一 若 △EMN 的面积为定值,则点 N 为定点,根据对称性可得 N 只可能为 (1,−1),考虑用同一法证明.设 N1(1,−1),直线 PQ 的方程为 PQ:x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 MQ 与直线 N1P 交于点 E1(x3,y3).联立直线 PQ 与椭圆方程,得 (m2+4)y2+2my−3=0. 因为 MQ:y−1=y2−1x2−1(x−1),N1P:y+1=y1+1x1−1(x−1), 所以y2−1x2−1(x3−1)+1=y3=y1+1x1−1(x3−1)−1, 故 2=(y1+1x1−1−y2−1x2−1)(x3−1)=(y1+1my1−y2−1my2)(x3−1)=y1+y2my1y2(x3−1)=23(x3−1), 从而 x3=4.由此可知,点 E1,E 重合,点 N1,N 重合,进而有 △EMN 的面积为定值 3.
解法二 延长 PQ 交直线 x=4 于点 R.设射影直线 MD 上的无穷远点为 G∞. 由于 D 点关于椭圆 C 的极线为直线 x=4,因此 (Q,P,D,R)=(EQ,EP,ED,ER)=(MNDG∞)=−1, 从而 D 点平分线段 MN,所以 |MN| 为定值 2,进而 △EMN 的面积为定值 3.