每日一题[1525]调和线束

已知椭圆 C:x24+y2=1.过点 D(1,0) 且不经过点 M(1,1) 的直线与椭圆交于 P,Q 两点,直线 MQ 与直线 x=4 交于 E 点,直线 PE 与直线 MD 交于 N 点.求证:EMN 的面积为定值.

解法一       若 EMN 的面积为定值,则点 N 为定点,根据对称性可得 N 只可能为 (1,1),考虑用同一法证明.设 N1(1,1),直线 PQ 的方程为 PQ:x=my+1P(x1,y1)Q(x2,y2),直线 MQ 与直线 N1P 交于点 E1(x3,y3).联立直线 PQ 与椭圆方程,得 (m2+4)y2+2my3=0. 因为 MQ:y1=y21x21(x1),N1P:y+1=y1+1x11(x1), 所以y21x21(x31)+1=y3=y1+1x11(x31)1,2=(y1+1x11y21x21)(x31)=(y1+1my1y21my2)(x31)=y1+y2my1y2(x31)=23(x31), 从而 x3=4.由此可知,点 E1,E 重合,点 N1,N 重合,进而有 EMN 的面积为定值 3

解法二       延长 PQ 交直线 x=4 于点 R.设射影直线 MD 上的无穷远点为 G. 由于 D 点关于椭圆 C 的极线为直线 x=4,因此 (Q,P,D,R)=(EQ,EP,ED,ER)=(MNDG)=1, 从而 D 点平分线段 MN,所以 |MN| 为定值 2,进而 EMN 的面积为定值 3

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