每日一题[1513]巧合数

对于正整数 $n$，将其各位数字之和记为 $s(n)$，各位数字之积记为 $p(n)$，若成立 $s(n)+p(n)=n$，就称 $n$ 为巧合数，则所有巧合数的和为_______．

答案       $531$．

解析       设 $n=\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_2a_1}$（$k\geqslant 2$，$k\in\mathbb N$），则根据题意，有

$$(a_1+a_2+\cdots+a_k)+a_1a_2\cdots a_k=a_k\cdot 10^{k-1}+\cdots+a_2\cdot 10+a_1,$$ 也即 $$a_1a_2\cdots a_k=a_k\cdot (10^{k-1}-1)+\cdots+a_2\cdot 9.$$ 若 $k\geqslant 3$，则 $$LHS\leqslant 9^{k-1}a_k<a_k\cdot (10^{k-1}-1)<RHS,$$ 不符合题意．因此 $k=2$，进而 $$a_1a_2=9a_2\implies a_1=9,$$ 故所有巧合数之和为 $$\sum_{k=1}^9(10k+9)=450+81=531.$$