每日一题[1512]化齐次联立

已知 $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $C:\dfrac{x^2} {a^2}+\dfrac{y^2} {b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点，点 $P\left(\dfrac {2\sqrt6} 3,1\right)$ 在椭圆 $C$ 上，且 $\triangle F_1PF_2$ 的垂心为 $H\left(\dfrac {2\sqrt6} 3,-\dfrac 5 3\right)$．

1、求椭圆 $C$ 的方程．

2、设 $A$ 为椭圆 $C$ 的左顶点，过点 $F_2$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $D,E$ 两点．记直线 $AD,AE$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，若 $k_1+ k_2=-\dfrac 1 2$，求直线 $l$ 的方程．

解析

1、设 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，根据题意，有

$$\overrightarrow{F_1H}\cdot \overrightarrow{PF_2}=0\iff \left(\dfrac{2\sqrt 6}3+c\right)\left(\dfrac{2\sqrt 6}3-c\right)-\dfrac 53=0\iff c=1,$$ 进而结合 $P$ 点椭圆上，解得 $a=2$，$b=\sqrt 3$，于是所求椭圆方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$．

2、平移坐标系，使 $A$ 为坐标原点，$AF_2$ 为 $x$ 轴正半轴方向，则椭圆方程变为

$$C':\dfrac{(x'-2)^2}4+\dfrac{y'^2}3=1,$$ 即 $$C':\dfrac{x'^2}4-x'+\dfrac{y'^2}3=0,$$ 设直线 $l$ 的方程变为 $l':m(x'-3)+ny'=0$，化齐次联立可得 $$\dfrac{x'^2}4-x'\cdot \dfrac{mx'+ny'}{3m}+\dfrac{y'^2}3=0,$$ 即 $$\dfrac 13y'^2-\dfrac{n}{3m}y'x'-\dfrac{1}{12}x'^2=0,$$ 于是直线 $AD$ 与 $AE$ 的斜率之和为 $$\dfrac nm=-\dfrac 12,$$ 于是 $$l':y'=2(x'-3),$$ 因此直线 $l$ 的方程为 $y=2(x-1)$．