每日一题[1511]成双入对

已知整系数多项式 $f(x)=x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$，若 $f\left(\sqrt 3+\sqrt 2\right)=0$，$f(1)+f(3)=0$，则 $f(-1)=$ _______．

答案       $24$．

解析       根据题意，有

$$f(x)=\left(x-\sqrt 3-\sqrt 2\right)\left(x-\sqrt 3+\sqrt 2\right)\left(x+\sqrt 3-\sqrt 2\right)\left(x+\sqrt 3+\sqrt 2\right)(x-m),$$ 即 $$f(x)=(x-m)(x^4-10x^2+1),$$ 又 $$f(1)+f(3)=0,$$ 可得 $$(-8+8m)+(-24+8m)=0\implies m=2,$$ 于是 $$f(-1)=24.$$