每日一题[1506]分解转化

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=60^\circ$，$\angle BAC$ 的平分线 $AD$ 交 $BC$ 于 $D$，且有 $\overrightarrow{AD}=\dfrac 14\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AB}$，若 $AB=8$，则 $AD=$ _______．

答案      $6\sqrt3$．

解析      如图，过 $D$ 作 $AB$ 的平行线交 $AC$ 于 $E$，过 $D$ 作 $AC$ 的平行线交 $AB$ 于 $F$．

根据题意，有 $$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AE}{EC}=\dfrac 13,$$ 进而 $$\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{CD}{BD}=3,$$ 于是 $t=\dfrac 34$，且 $AC=3AB=24$，因此 $$AD=\sqrt{\left(\dfrac 14\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AB}\right)^2}=\sqrt{\dfrac 14AC^2+\dfrac 38\cdot AC\cdot AB\cdot \cos 60^\circ+\dfrac 8{16}AB^2}=6\sqrt 3.$$