每日一题[1492]规划

已知 $\dfrac{\sin\theta} {\sqrt 3\cos\theta+1}>1$，则 $\tan\theta$ 的取值范围是_______．

答案      $\left(-\infty,-\sqrt2\right)\cup\left(\dfrac{\sqrt3} 3,\sqrt2\right)$．

解析      根据题意，有

$$\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta-\left(-\dfrac{\sqrt 3}3\right)}>\sqrt 3,$$ 记 $P(\cos\theta,\sin\theta)$，$Q\left(-\dfrac{\sqrt 3}3,0\right)$，则直线 $PQ$ 的斜率大于 $\sqrt 3$，$\tan\theta$ 为直线 $OP$ 的斜率（$O$ 为坐标原点）．

如图，$P$ 点弧 $AB$ 和 $BD$ 上运动，其中 $A\left(-\dfrac{1}{\sqrt 3},\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 3}\right)$，$B\left(-\dfrac{1}{\sqrt 3},\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 3}\right)$，$C\left(0,1\right)$，$D\left(-\dfrac{\sqrt 3}2,-\dfrac 12\right)$．因此直线 $OP$ 的斜率的取值范围是 $\left(-\infty,-\sqrt2\right)\cup\left(\dfrac{\sqrt3} 3,\sqrt2\right)$．