每日一题[1489]四球相切

半径分别为 $6,6,6,7$ 的四个球两两外切．它们都内切于一个大球，则大球的半径是_______．

答案      $14$．

解析      设这四个球的球心分别为 $A,B,C,D$，其中球 $D$ 的半径为 $7$，则所求大球的的球心 $O$ 位于正三棱锥 $D-ABC$ 的高 $DH$ 上，其中 $H$ 为 $\triangle ABC$ 的中心．正三棱锥 $D-ABC$ 的底面边长为 $12$，侧棱长为 $13$，于是高 $$DH=\sqrt{13^2-\left(\dfrac{12}{\sqrt 3}\right)^2}=11.$$ 记大球的半径为 $R$，则 $O$ 到 $D$ 的距离为 $R-7$，于是 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离为 $18-R$，进而有 $$(18-R)^2+\left(\dfrac{12}{\sqrt 3}\right)^2=(R-6)^2,$$ 解得 $$R=14.$$