每日一题[1425]对数的估算

比较大小：${\log_3}4$_______${\log_4}6$．（用 $<$，$>$ 填空）．

答案    $<$．

解析    考虑

$${\log_3}4-{\log_4}6=\dfrac{2\ln 2}{\ln 3}-\dfrac{\ln 2+\ln 3}{2\ln 2}=\dfrac 2x-\dfrac x2-\dfrac 12=\dfrac{-x^2-x+4}{2x},$$ 其中 $x={\log_2}3$，而 $$3^2>2^3,$$ 于是 $$x>\dfrac 32,$$ 因此 $$-x^2-x+4<0,$$ 从而 $${\log_3}4<{\log_4}6.$$

备注    事实上由于

$$\begin{array}{c|cccccccc}\hline n&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline 2^n&4&8&16&32&64&128&256&512\\ \hline 3^n&9&27&81&243&729&2187&&\\ \hline \end{array}$$ 有 $$3^2>2^3,3^5<2^8,$$ 因此 $$\dfrac 32<{\log_2}3<\dfrac 85.$$