每日一题[1422]对称差集

设 $A,B$ 是有限集，定义：$d\left(A,B\right)={\mathrm{card}}\left(A\cup B\right)-{\mathrm{card}}\left(A\cap B\right)$，其中 ${\mathrm{card}}\left(A\right)$ 表示有限集 $A$ 中元素的个数．

命题 ①：对任意有限集 $A,B$，$A\neq B$ 是 $d\left(A,B\right)>0$ 的充分必要条件；

命题 ②：对任意有限集 $A,B,C$，$d\left(A,C\right)\leqslant d\left(A,B\right)+d\left(B,C\right)$．（       ）

A．命题 ① 和命题 ② 都成立

B．命题 ① 和命题 ② 都不成立

C．命题 ① 成立，命题 ② 不成立

D．命题 ① 不成立，命题 ② 成立

答案    A．

解析    对于有限集 $A,B$，设 $a,x,b$ 分别为 $\complement_AB,A\cap B,\complement_BA$ 的元素个数，则

$$d(A,B)=a+b,$$ 于是 $$d(A,B)=0\iff a=b=0\iff A=B,$$ 因此命题 ① 成立． 对于有限集 $A,B,C$，设只在 $A,B,C$ 中的元素个数分别为 $a,b,c$，只不在 $A,B,C$ 中的元素个数分别为 $x,y,z$，同时在 $A,B,C$ 中的元素个数为 $t$，则 $$\begin{split} d(A,C)&=a+c+z+x,\\ d(A,B)&=a+b+x+y,\\ d(B,C)&=b+c+y+z,\end{split}$$ 于是 $$d(A,C)\leqslant d(A,B)+d(B,C),$$ 等号当且仅当 $b=y=0$ 时取得，因此命题 ② 成立．