每日一题[1399]高次不等式

已知数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=\dfrac{nx}{(x+1)(2x+1)\cdots (nx+1)}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．若 $a_1+a_2+\cdots+a_{2018}<1$，则实数 $x$ 可以等于（       ）

A．$-\dfrac 23$

B．$-\dfrac 5{12}$

C．$-\dfrac{13}{48}$

D．$-\dfrac{11}{60}$

答案    B．

解析    由于当 $n\geqslant 2$ 时，有

$$\dfrac{nx}{(x+1)(2x+1)\cdots (nx+1)}=\dfrac{1}{(x+1)(2x+1)\cdot ((n-1)x+1)}-\dfrac{1}{(x+1)(2x+1)\cdot (nx+1)},$$ 于是 $$a_1+a_2+\cdots+a_{2018}=1-\dfrac{1}{(x+1)(2x+1)\cdots(2018x+1)}<1,$$ 即 $$(x+1)(2x+1)\cdots (2018x+1)>0,$$ 该不等式的解集 $$M=(-\infty,-1)\cup\left(\bigcup_{k=1}^{1008}\left(-\dfrac{1}{2k},-\dfrac{1}{2k+1}\right)\right)\cup\left(-\dfrac{1}{2018}+\infty\right),$$ 而 $$-1<-\dfrac 23<-\dfrac 12<-\dfrac 5{12}<-\dfrac 13<-\dfrac{13}{48}<-\dfrac 14<-\dfrac 15<-\dfrac{11}{60}<-\dfrac 16,$$ 于是只有选项 B 符合题意．