每日一题[1397]柯西去根号

已知 $x\geqslant 0$，则 $m=\dfrac{\sqrt 2x+2\sqrt{x^2+1}}{2x+1}$ 的最小值为_______．

答案    $\sqrt 2$．

解析    根据柯西不等式，有

$$m\geqslant \dfrac{\sqrt 2x+2\left(\lambda x+\sqrt{1-\lambda^2}\right)}{2x+1}=\dfrac{\left(\sqrt 2+2\lambda\right)x+2\sqrt{1-\lambda^2}}{2x+1},$$ 令 $$\sqrt 2+2\lambda =2\cdot 2\sqrt{1-\lambda^2},$$ 可得 $$\lambda =\dfrac{\sqrt 2}2,$$ 于是可得 $$m\geqslant \sqrt 2,$$ 等号当 $$\dfrac x1=\dfrac{\lambda}{1-\lambda^2}=1,$$ 即 $x=1$ 时取得．因此所求 $m$ 的最小值为 $\sqrt 2$．