每日一题[119] 累次求极值

在半径为$2$的球面上有三个点$A,B,C$，求$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$的取值范围．

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正确的答案是$[-2,16]$．

考虑到连续性，只需要求出数量积的最大值和最小值即可．

先求最大值．

由于

$$\begin{split}2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&\leqslant \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}\\&\leqslant 4^2+4^2=32,\end{split}$$ 等号当且仅当$B=C$，且$AB$、$AC$均为球的直径时取得，因此所求数量积的最大值为$16$．

再求最小值．

若$A$、$B$、$C$中有重合的点，那么所求数量积为$0$，但显然$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$可以取到负值，于是只需要考虑$A$、$B$、$C$中没有重合的点的情形．

此时$A$、$B$、$C$必然共圆，设三角形$ABC$的外接圆$O$半径为$r$，则$0<r\leqslant 2$．

如图，使用调整法，在向量$\overrightarrow{AB}$确定的情况下，连接$OA$，设$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AO}$所成角为$\theta$．过圆心$O$作$\overrightarrow{AB}$所在基线的平行线，被圆截得直径$MN$，分别作$M$、$N$在基线上的投影$M_1$、$N_1$，则有$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$的取值范围是$\left[\overrightarrow{AM_1}\cdot\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN_1}\cdot\overrightarrow{AB}\right]$．

事实上，有

$$\begin{split}\overrightarrow{AM_1}\cdot\overrightarrow{AB}&=-\left(r-r\cos\theta\right)\cdot 2r\cos\theta\\&\geqslant -\dfrac 12r^2\\&\geqslant -2,\end{split}$$ 等号当且仅当$\cos\theta=\dfrac 12\land r=2$时取得．

因此所求数量积的最小值为$-2$．

注    本方法也可以用来求最大值．