每日一题[1322]去头截尾

已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=15$ 且满足 $(2n-5)a_{n+1}=(2n-3)a_n+4n^2-16n+15$．已知 $n,m\in\mathbb N^{\ast}$且$n\ge m$，则 $S_n-S_m$ 的最小值为_______．

答案    $-14$．

解析    根据题意，有

$$\dfrac{a_{n+1}}{2(n+1)-5}-\dfrac{a_n}{2n-5}=1,$$ 于是 $$\dfrac{a_n}{2n-5}=\dfrac{a_1}{2\cdot 1-5}+1\cdot (n-1),$$ 从而 $$a_n=(2n-5)(n-6),n\in\mathbb N^{\ast}.$$ 这样就有 $$S_n-S_m=a_{m+1}+\cdots+a_n,$$ 考虑到 $$\begin{array} {c|ccccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6&\geqslant 7\\ \hline a_n&15&4&-3&-6&-5&0&>0\\ \hline\end{array}$$ 于是 $S_n-S_m$ 的最小值为 $$-3-6-5=-14,$$ 当 $m=2$，$n=5,6$ 时取得．