每日一题[1320]逃得了和尚逃不了庙

设函数 $f(x)=|x^2+a|+|x+b|$（$a,b\in\mathbb R$），当 $x\in [-2,2]$ 时，记 $f(x)$ 的最大值为 $M(a,b)$，则 $M(a,b)$ 的最小值是_______．

答案    $\dfrac{25}8$．

解析    根据题意，有

$$\begin{split} M(a,b)&\geqslant \max\left\{f(-2),f\left(-\dfrac 12\right),f\left(\dfrac 12\right),f(2)\right\}\\ &=\max\left\{|a+4|+|b-2|,\left|a+\dfrac 14\right|+\left|b+\dfrac 12\right|,\left|a+\dfrac 14\right|+\left|b-\dfrac 12\right|,|a+4|+|b+2|\right\}\\ &\geqslant \dfrac{2|a+4|+2\left|a+\dfrac 14\right|+|b+2|+|b-2|+\left|b+\dfrac 12\right|+\left|b-\dfrac 12\right|}4\\ &\geqslant \dfrac{\left|(2a+8)-\left(2a+\dfrac 12\right)\right|+\left|(b+2)-(b-2)+\left(b+\dfrac 12\right)-\left(b-\dfrac 12\right)\right|}4\\ &=\dfrac{25}8, \end{split}$$ 等号当 $$(a+4)-(b-2)=-\left(a+\dfrac 14\right)+\left(b+\dfrac 12\right)=-\left(a+\dfrac14\right)-\left(b-\dfrac 12\right)=(a+4)+(b+2)$$ 即 $a=-\dfrac{23}8$，$b=0$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac{25}8$．

备注    事实上，有

$$M(a,b)=\max\left\{f(-2),f\left(-\dfrac 12\right),f\left(\dfrac 12\right),f(2)\right\}.$$