每日一题[1317]估计立方根

求证：$\dfrac 74<\sqrt[3]4-\sqrt[3]6+\sqrt[3]9<2$．

解法一    根据立方和公式，有

$$\sqrt[3]4-\sqrt[3]6+\sqrt[3]9=\dfrac{2+3}{\sqrt[3]2+\sqrt[3]3},$$ 于是只需证明 $$\dfrac 52<\sqrt[3]2+\sqrt[3]3<\dfrac{20}7,$$ 考虑到 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline x&1.1&1.2&1.3&1.4&1.5\\ \hline x^3&1.331&1.728&2.197&2.744&3.375\\ \hline\end{array}$$ 于是 $$\dfrac 52<2.6=1.2+1.4<\sqrt[3]2+\sqrt[3]3<1.3+1.5=2.8<\dfrac {20}7.$$

解法二    考虑到

$$\begin{array} {c|cccccccccc}\hline x&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline x^3&1&8&27&64&125&216&343&512&729&1000\\ \hline \end{array}$$ 容易证明当 $d>0$ 且 $m>n>0$ 时，有 $$\sqrt[3]{m+d}-\sqrt[3]{m}<\sqrt[3]{n+d}-\sqrt[3]{n},$$ 于是 $$\sqrt[3]4-\sqrt[3]6+\sqrt[3]9>\sqrt[3]4+\sqrt[3]{11}-\sqrt[3]8>\dfrac 32+\dfrac{9}{4}-2=\dfrac 74,$$ 且 $$\sqrt[3]4-\sqrt[3]6+\sqrt[3]9<\sqrt[3]4+\sqrt[3]7-\sqrt[3]4=\sqrt[3]7<2.$$