每日一题[1316]横竖均可

已知数列 $\{a_n\}$ 的通项为 $a_n=\dfrac{2^n}{3^{2^n}+1}$，用 $S_n$ 表示其前 $n$ 项和，$P_n$ 表示其前 $n$ 项之积，则 $\dfrac{S_n}{P_n}=$_______．

答案    $\dfrac{3^{2^{n+1}}-2^{n+3}-1}{2^{\frac 12n(n+1)+5}}$

解析    注意到 $$\dfrac{2^n}{1+3^{2^n}}=\dfrac{2^{n+1}}{1-3^{2^{n+1}}}-\dfrac{2^n}{1-3^{2^n}},$$ 于是 $$S_n=\dfrac{2^{n+1}}{1-3^{2^{n+1}}}-\dfrac{2}{1-3^2}=\dfrac{2^{n+1}}{1-3^{2^{n+1}}}+\dfrac 14,$$ 又 $$\dfrac{2^n}{1+3^{2^n}}=2^n\cdot \dfrac{1-3^{2^{n}}}{1-3^{2^{n+1}}},$$ 于是 $$P_n=2^{1+2+\cdots+n}\cdot \dfrac{1-3^2}{1-3^{2^{n+1}}}=\dfrac{2^{\frac 12n(n+1)+3}}{3^{2^{n+1}}-1}.$$ 从而 $$\dfrac{S_n}{P_n}=\dfrac{3^{2^{n+1}}-2^{n+3}-1}{2^{\frac 12n(n+1)+5}}.$$