每日一题[118] 齐次化

本题为2013年广东省深圳市高三年级第二次调研考试理科数学第21题．

定义$\rho (x,y)=\left|{\mathrm e}^x-y\right|-y\left|x-\ln y\right|$，其中$x\in\mathcal R$，$y\in\mathcal R^+$．

（1）若$a>0$，$f(x)=\rho (x,a)$，求$f(x)$在定义域内的零点的个数；

（2）设$0<a<b$，函数$F(x)=\rho (x,a)-\rho (x,b)$，求$F(x)$的最小值；

（3）设（2）中最小值为$T(a,b)$，若各项都是正数的无穷数列$\left\{a_n\right\}$单调递增，证明：对一切正整数$n$，均有

$$\sum_{i=1}^{n}{T\left(a_i,a_{i+1}\right)}<\left(a_{n+1}-a_1\right)\ln 2.$$

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（1）由于函数$f(x)$在$x<\ln a$时单调递增，在$x>\ln a$时单调递增，且当$x=\ln a$时，$f(x)=0$，于是函数$f(x)$在定义域内的零点个数为$1$；

（2）考虑到

$$F'(x)=\begin{cases}a-b,&x<\ln a\\2{\mathrm e}^x-a-b,&\ln a\leqslant x\leqslant \ln b\\b-a,&x>\ln b\end{cases}$$ 于是函数$F(x)$的最小值为 $$F\left(\ln\dfrac{a+b}{2}\right)=a\ln\dfrac{2a}{a+b}+b\ln\dfrac{2b}{a+b}.$$

（3）分析通项可知，欲证命题只需要证明

$$\forall 0<a<b,T(a,b)<(b-a)\ln 2,$$ 即 $$\forall 0<a<b,a\ln\dfrac{2a}{a+b}+b\ln\dfrac{2b}{a+b}<(b-a)\ln 2,$$ 令$t=\dfrac{b}{a}$，$t>1$，则只需要证明 $$\forall t>1,\ln\dfrac{2}{1+t}+t\ln\dfrac{2t}{t+1}<(t-1)\ln 2,$$ 该不等式很容易通过求导证明．