已知数列\(\left\{x_n\right\}\)和\(\left\{y_n\right\}\)满足\(x_0=5\)，\(y_0=2\)，以及\[\begin{cases}x_{n+1}=-\dfrac{7}{2}x_n+6y_n,\\y_{n+1}=-3x_n+5y_n.\end{cases}\]求\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n\)以及\(\lim\limits_{n\to\infty}y_n\)．
正确答案是\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=-16\)，\(\lim\limits_{n\to\infty}y_n=-12\)．
此题为已知两个未知数列两个方程，求未知数列．联想两个未知数两个方程时的代入消元法和加减消元法，有以下两个作法：
“代入消元”
根据已知，有\[x_n=-\dfrac{1}{3}y_{n+1}+\dfrac{5}{3}y_n,\]代入另一个式子有\[-\dfrac{1}{3}y_{n+2}+\dfrac 53y_{n+1}=-\dfrac{7}{2}\left(-\dfrac 13y_{n+1}+\dfrac 53y_n\right)+6y_n,\]化简得\[2y_{n+2}-3y_{n+1}+y_n=0,\]于是特征方程的解为\[x=1\lor x=\dfrac 12,\]因此可得\[y_n=-12+14\cdot\left(\dfrac 12\right)^n,\]从而可得\[\lim_{n\to\infty}y_n=-12,\]进而\[\lim_{n\to\infty}x_n=-\dfrac 13\lim_{n\to\infty}y_{n+1}+\dfrac 53\lim_{n\to\infty}y_n=-16.\]
“加减消元”
根据已知，有\[x_{n+1}+\lambda y_{n+1}=\left(-\dfrac 72-3\lambda\right)x_n+\left(6+5\lambda\right)y_n,\]其中\(\lambda\)为待定系数．
为了构造等比数列，我们令\[\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{-\dfrac 72-3\lambda}{6+5\lambda},\]解得\[\lambda=-\dfrac 43\lor\lambda =-\dfrac 32,\]从而有\[\begin{split}x_{n+1}-\dfrac 43y_{n+1}=\dfrac 12\left(x_n-\dfrac 43y_n\right),\\x_{n+1}-\dfrac 32y_{n+1}=x_n-\dfrac 32y_n,\end{split}\]分别设两个数列的极限为\(x_0\)和\(y_0\)，则有\[\begin{cases}x_0-\dfrac 43y_0=0,\\x_0-\dfrac 32y_0=2,\end{cases}\]解得\[x_0=-16,y_0=-12.\]