每日一题[117] 代入消元与加减消元

已知数列$\left\{x_n\right\}$和$\left\{y_n\right\}$满足$x_0=5$，$y_0=2$，以及 $$\begin{cases}x_{n+1}=-\dfrac{7}{2}x_n+6y_n,\\y_{n+1}=-3x_n+5y_n.\end{cases}$$ 求$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$以及$\lim\limits_{n\to\infty}y_n$．

正确答案是$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=-16$，$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=-12$．

此题为已知两个未知数列两个方程，求未知数列．联想两个未知数两个方程时的代入消元法和加减消元法，有以下两个作法：

“代入消元”

根据已知，有 $$x_n=-\dfrac{1}{3}y_{n+1}+\dfrac{5}{3}y_n,$$ 代入另一个式子有 $$-\dfrac{1}{3}y_{n+2}+\dfrac 53y_{n+1}=-\dfrac{7}{2}\left(-\dfrac 13y_{n+1}+\dfrac 53y_n\right)+6y_n,$$ 化简得 $$2y_{n+2}-3y_{n+1}+y_n=0,$$ 于是特征方程的解为 $$x=1\lor x=\dfrac 12,$$ 因此可得 $$y_n=-12+14\cdot\left(\dfrac 12\right)^n,$$ 从而可得 $$\lim_{n\to\infty}y_n=-12,$$ 进而 $$\lim_{n\to\infty}x_n=-\dfrac 13\lim_{n\to\infty}y_{n+1}+\dfrac 53\lim_{n\to\infty}y_n=-16.$$

“加减消元”

根据已知，有 $$x_{n+1}+\lambda y_{n+1}=\left(-\dfrac 72-3\lambda\right)x_n+\left(6+5\lambda\right)y_n,$$ 其中$\lambda$为待定系数．

为了构造等比数列，我们令 $$\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{-\dfrac 72-3\lambda}{6+5\lambda},$$ 解得 $$\lambda=-\dfrac 43\lor\lambda =-\dfrac 32,$$ 从而有 $$\begin{split}x_{n+1}-\dfrac 43y_{n+1}=\dfrac 12\left(x_n-\dfrac 43y_n\right),\\x_{n+1}-\dfrac 32y_{n+1}=x_n-\dfrac 32y_n,\end{split}$$ 分别设两个数列的极限为$x_0$和$y_0$，则有 $$\begin{cases}x_0-\dfrac 43y_0=0,\\x_0-\dfrac 32y_0=2,\end{cases}$$ 解得 $$x_0=-16,y_0=-12.$$