每日一题[1288]待定参数

已知正实数 $a,b$ 满足 $2a+2b\leqslant 15$，$\dfrac 4a+\dfrac 3b\leqslant 2$，则 $3a+4b$ 的取值范围是_______．

答案    $[24,27]$．

解析    根据题意，有 $$2\geqslant \dfrac{4}{a}+\dfrac {3}{b}\geqslant \dfrac{\left(2+\sqrt {3k}\right)^2}{a+kb},$$ 于是 $$a+kb\geqslant \dfrac{\left(2+\sqrt{3k}\right)^2}{2},$$ 等号当且仅当 $\dfrac ab=\sqrt{\dfrac{4k}3}$ 时取得．

计算最小值    令 $k=\dfrac 43$，可得 $$a+\dfrac 43b\geqslant 8,$$ 于是 $$3a+4b\geqslant 24,$$ 等号当 $(a,b)=(4,3)$ 时取得．

计算最大值    令 $k=\dfrac 13$，可得 $$a+\dfrac 13b\geqslant \dfrac 92,$$ 于是 $$3a+4b=-\dfrac 32\left(a+\dfrac 13b\right)+\dfrac 94(2a+2b)\leqslant -\dfrac 32\cdot \dfrac 92+\dfrac 94\cdot 15=27,$$ 等号当 $(a,b)=\left(3,\dfrac 92\right)$ 时取得． 因此所求取值范围是 $[24,27]$．