每日一题[1273]计算分析

已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 满足

$$\sin A\cot B+\sin B\cot A=2\sin \dfrac C2,$$ 求证：$A=B$．

解析    根据题意，有

$$\sin^2A\cos B+\sin^2B\cos A=2\sin A\sin B\cos\dfrac{A+B}2,$$ 记 $$x=\dfrac{A+B}2,y=\dfrac{A-B}2,$$ 则 $$\sin^2(x+y)\cos(x-y)+\sin^2(x-y)\cos(x+y)=2\sin(x+y)\sin(x-y)\cos x,$$ 即 $$2\cos x\cos y(\sin^2x+\sin^2y)=2\cos x(\sin^2x-\sin^2y),$$ 从而 $$(1-\cos y)\left[\sin^2x-(1+\cos y)^2\right]=0,$$ 显然有 $$(1+\cos y)^2>1>\sin^2x,$$ 于是 $$\cos y=1,$$ 从而 $y=0$，也即 $A=B$．